 Mathematik - Dreiecksgeschichten 2
Den linken Teil haben wir jetzt. Allerdings ist für den rechten Teil doch jetzt x nötig:
| | x |
| cos α | = |  |
| | s/2 |
| | x |
| sin β | = | |
| | l |
Den entsprechenden Term für x oben in diese Gleichung eingesetzt ergibt:
| | s/2 · cos α |
| sin β | = |  |
| | l |
Mit einem Zahlenwert für sin β kann man so nichts anfangen. Man braucht den Winkel selbst. Und dazu gibt es die Umkehrfunktion mit der Vorsilbe 'arc'. Wenn Sie prüfen wollen, ob
ein bestimmter Taschenrechner mit dieser Umkehrfunktion umgehen kann, sollten Sie auf den Tasten nicht nur nach 'arcsin' suchen, sondern auch nach 'asin' oder 'sin-1', Die letztgenannte
Schreibweise ist nicht so günstig, weil man die auch als 1/sin missverstehen könnte.
Umkehrfunktion heißt aber, dass man nicht den Wert auf der x-Achse vorgibt und den entsprechenden auf der y-Achse sucht, sondern ausgehend von dem auf der y-Achse auf den x-Wert schließt. Unabhängig und
abhängig Variable sind vertauscht.
Wenn wir jetzt, anknüpfend an das vorige Kapitel s/2 = 40 mm, für α = 30° und l = 100 mm einsetzen, sollten etwa 20° für β herauskommen. Funktioniert das nicht, dann liegt es vielleicht an der
Einstellung des Taschenrechners. Der hat dann nicht den Winkel, sondern das zugehörige Bogenmaß (Radiant) ausgegeben. Hier die Umrechnung bezogen auf einen Kreis mit Radius 1 (Einheitskreis):
| Bogenmaß = Winkel : 180° · π |
| Winkel = Bogenmaß · 180° : π |
Hier wäre einmal wieder vorherige Abschätzung der Werte gefragt. Der Winkel β muss deutlich kleiner als der Winkel α sein, je größer α, umso größer der
Unterschied.
| | x2 |
| cos β | = | |
| | l |
Jetzt ist einfach nur noch mit dem Cosinus 'x2' zu berechnen, was etwa 94 mm ergibt. Wenn man sich das Dreieck anschaut, wird klar, dass der Wert knapp unter dem für 'l' liegt. Der Kolben befindet sich
5 mm unterhalb von OT wegen der Schrägstellung der Kurbelwelle und 6 mm wegen der Schrägstellung der Pleuelstange, macht zusammen 11 mm.
Wichtig ist an diesen beiden Kapiteln, dass wir die Formel allgemein formulieren konnten. D.h. jemand, der eine solche Lösung für andere Kurbeltriebe bzw. Winkel braucht, muss nicht jedes Mal den ganzen
beschriebenen Weg gehen. Er hat drei Formeln, setzt nach und nach seine Werte ein und erhält sein Ergebnis.
Die drei Formeln ließen sich auch jetzt schon zusammenfassen. Aber man will die Arcusfunktion zwischendrin vermeiden. Allerdings müssen Sie sich für die Berechnung komplett in einer Formel noch ein wenig
gedulden.
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